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什么是国家统计局

1、利用导数计算瞬时值

物理量A定义为A=△是/△x,

例如:速度v=△x/△T、加速度a=△五/△T、角速度ω=△θ/△t电场强度e=-△Φ/△x感应电动势e=n△Φ/ΔT等。当结构为a=△是/△十、

物理量a=△是/△x、如果△X不接近零,它是一个过程的平均值,反映在图像中割线斜坡;

物理量a=△是/△x、如果△x个→0,a的值是某个时间或点的瞬时值,即△x个→0,

反映在图像上的是切线的斜率

①衍生工具运动学的应用

示例1:粒子在运动过程中的位移x(单位m)和时间t(单位s)满足表达式x=5t³3t²4T2(m),发现:

①1s-3s平均速度

②2秒时瞬时速度,瞬时速度

③2S时的加速度

[分析]

①1s-3s的平均速度为割线斜率,

当t=1s时,x=14m;

当t=3s时,x=176m;

△x=162m

1s-3s内平均速度为81m/s

②2S处的瞬时速度为切线斜率,瞬时速度的表达式为位移对时间的导数,其计算公式如下:

v=15t²6t4(米/秒)

当t=2s时,v=76m/s

瞬时加速度的表达式是速度对时间的导数,即V-T图的斜率,即x-T函数对时间T的导数二阶导数

偏差:a=30t6(m/s²)

当t=2s时,a=66m/s²。

②导数在感应电动势中的应用

例2:如图所示,水平桌面上固定有两条长度足够的平行金属导轨。导轨的端部P和Q通过导线连接。两个导轨之间的距离为L。磁场垂直于桌面。众所周知,磁感应强度B与时间的关系为B=KT(k是一个大于零的常数),在时间t=0时,金属棒靠近P端和Q端。在外力的作用下,杆从静止状态以恒定加速度a从时间t=0滑动到导轨的另一端。计算时间t时整个电路的感应电动势

这就是感生和动生的共存。您可以使用法拉第电磁感应通用公式,e=n△Φ/△T、瞬间电动势Φ(t)函数的导数

Φ=BS=BLvt=ktL·½at²

E=kL·½at²KTL·刘逸飞3klat²/两

示例:如图所示,KLMN是一个垂直的矩形线框,所有线框在水平方向上都处于均匀的磁场中,磁感应强度为B。线框面积为s,Mn侧为水平,线框绕垂直固定轴以角速度ω匀速旋转。当Mn侧与磁场方向夹角达到30°(如图所示位置)时,线框内产生的瞬时电动势E是多少?此时标记线框的当前方向。已知线框在俯视图中逆时针旋转。

[分析]从平行平面开始计时磁通量的表达式为Φ=BSsinθ,t=0的初始相位为π/6

磁通量表达式应修改为Φ=BSsin(θπ/6),θ=ωt

Φ=BSsin(ωtπ/6)

E=n△Φ/△T、求瞬时表达式,也就是求导数,

E=nBSωcos(ωtπ/6)[t=0,n=1]

E类=√3BSω/2

电流方向根据楞次定律

示例:纸中半径为r的两个圆与点O相切。在两个圆形区域中,存在与纸垂直的均匀磁场。磁感应强度相同,方向相反,且不随时间变化。长度为2R的导体棒OA绕过点O,以与纸轴垂直的匀速顺时针旋转,角速度为ω当t=0时,OA正好位于两个圆的公共切线上,如图所示。如果选择从O到a的电动势为正,则描述导体棒中感应电动势随时间变化的下图可能是正确的(c)

[分析]

Φ=BS=B·θR²-½BR²马华腾2θ

=BR²(ωt-½sin2ωt)

Φ′(t)=BR²(ω-ωcos2ωt)

=2BR峈ω小马峈ωt。

E=nΦ′(t)=2BR峈ω小马峈ωt。

也可以使用切割磁感应线法

③衍生工具电位分布在直线上的应用

例3:a静电场中的电场线与x轴重合,其电位变化规律如图所示。在点O处,电子静态释放,电子仅受电场力的影响,电场力在-x范围内₀~x个₀(BC)

A.,静电场是均匀电场

B、静电场是一种非均匀电场

C、电子将沿x轴的正方向移动,加速度将逐渐减小

D、电子将沿x轴的正方向移动,加速度将逐渐增加

[分析]

值得注意的是,电场强度e=-△Φ/△X有一个减号;如果斜率为正,则表示电场方向为负X方向

④导数在相关加速度中的应用示例4:将一个对象放置在平滑的水平面上,一个人穿过一根绳子穿过一个高处固定滑轮拉动物体使其在水平面上移动,人以v的速度向左移动₀加速度a₀当绳索与水平方向θ对齐时,物体的瞬时速度V和加速度a是多少?

[分析]

从速度关系可以得到加速度之间的关系。对于不再在同一直线上移动(涉及旋转)的两个对象,加速度关系不能与速度(a)的关系相似₀=a·cosθ)。

v₀=v·cosθ,v=v₀/cosθ,(θ它也随时间变化,这是一个复合函数)

a=dv/dt

也可以用加速度综合法求解

⑤电磁感应导数和电容器组合的应用

例5:如图所示,两根平行导轨平面与水平地面夹角为θ,间距为L,导轨上端与平行板电容器,电容为C。导轨处于均匀的磁场中,磁感应强度为B,方向垂直于导轨平面。导轨上放置了一根质量为的金属棒。杆件可沿导轨滑动,并与导轨保持垂直,滑动过程中接触良好。金属棒和导轨之间的已知距离动摩擦系数为μ,重力加速度为g。忽略所有阻力。让金属棒从静止状态下从导轨上端滑动,以便:

(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度之间的关系;

Q=CBLv

(2)金属棒的速度与时间的关系

2、用导数求极值与单调性

示例:木箱的重量为g,木箱与地面之间的动态摩擦系数为μ,用向上的斜力F拉动木箱,使其沿水平地面匀速移动,如图所示,问一个角α,为什么拉力F最小?最小值是多少?

[分析]

受力分析

查找cosαμponyα的最大值

使用导数:

f′(α)=-小马αμcosα=0

α=弧tanμ

holdα可通过替换

示例:如图所示,在2R距离处,两个相同类型的相等正电场强度的最大值和位置

[分析]

求cos-θponyθ的最大值

阶数f(θ)=cos-θ-小马θ

在连续可微的情况下

fu0026#39;(θ)=cosθ-2sinθcosθ=0

cos峈θ=2sin峈θ

tanθ=√2/2θ=弧tan(√2/2)

θ≈35.26°

示例:如图所示,滑块a和B的质量均为M。a设置在固定的垂直杆上,B放置在地面上,a和B通过铰链通过刚性灯杆连接,灯杆的长度为L。灯杆最初位于垂直方向,滑块a在受到干扰时开始从静止状态移动,而不考虑所有摩擦。A和B可被视为粒子,重力加速度为g。在下落过程中,(BD)

分析a的速度是如何变化的,求出B的速度的最大值

根据系统机械能守恒定律:

Va(θ)=2马华腾θcos(1-cosθ)小马

如果导数值大于零,则Va(θ)通过增加功能意味着Va一直在增加

Vb′(θ)=小马θcosθ(3cosθ-2)

该导数为零,V′(θ)先大于零,然后小于零,VB先增大后减小

当VB′(θ)=0时,VB具有最大值

小马θcosθ(3cosθ-2)=0

cosθ=2/3替换为VB:

一般解决方案:

Vacosθ=VBsinθ

90°θ=0时θ=Cos,Vb=0

B的速度范围为0到0。B的速度先增大后减小。磁极先对B做正功,然后对B做负功。根据数学零点定理,必须有一个没有做功的点。B的速度在该点具有最大值。此时,极点的力F=0,a的机械能最小,B的机械能最大,a的加速度为g,B的加速度为0,B的地压为mg,然后a的加速度大于g,θ增大,Va=vbtanθ,在vb增大的过程中,Va也增大。在B减速的过程中,磁极对B做负功,对a做正功。a仍然加速,所以a一直在加速

示例:在纯电阻电路中,输出功率与外部电阻有关。当电阻较大时,功率输出功率最大

只需要rr²/r的增减

设f(R)=RR²/R

R的导数为:F′(R)=1-R²·R⁻²

当f′(R)=1-R²·R时⁻²=0,

当R<R,f′(R)<0时,f(R)为输出功率函数是一个递增函数。当r>r,f’(r)>0时,f(r)是一个递增函数,输出功率函数是一个递减函数。当R=R,f’(R)=0时,输出功率最大

3、使用导数计算变化率

示例:下图显示了早期发电机的示意图,该发电机由一个固定的圆形线圈和一对由与铁芯连接的圆柱形磁铁组成,两个磁极相对于线圈平面对称。磁极围绕旋转轴均匀旋转时,磁极中心在线圈平面上的投影沿弧线xoy移动(o为线圈中心),然后(d)

从X到o,电流从e到F再到G,先增大后减小

B、从X到o,电流从F到e再到G,先减小后增大

C、从O到y,电流从F到e再到G,先减小后增大

D、从O到y,电流从e到F再到G,先增大后减小

[分析]

当磁极中心直接通过O点上方时,磁通量最大。在连续导电的情况下,磁通量对时间的一阶导数,即磁通量的变化率为零,即感应电动势为零

示例:如图所示,AOC是一个光滑的矩形金属导轨,Ao在垂直方向,OC在水平方向,AB是一个金属直杆站在导轨上(开始时,B非常接近o点),金属直杆在重力作用下从静止开始移动,在移动过程中,a端始终处于AO,B端始终处于OC,直到AB完全落在OC上,整个设备置于均匀的磁场中,磁场方向垂直于纸张的向内方向,然后AB杆运动(BD)

A.主义感应电流的方向始终为b→一

B、感应电流方向为第一个B→a、然后a→B

C、施加磁场力的方向垂直于ab向上

D、施加磁场力的方向首先垂直于ab向下,然后垂直于ab向上

[扩展]

最小感应电流在哪里?

[分析]

X=lsinθ,y=Lcosθ,S=xy/2

=½L²小马θcosθ=L²sin2θ/四

Φ=BS=BL²sin2θ/四

Φ′(θ)=BL²cos2θ/二

当Φ′(θ)=BL²cos2θ/当2=0时,即θ=当π/4时,e有一个最小值

示例:质量为m的球以初始速度v从地面垂直向上抛起₀.众所周知,球上的空气阻力与速度成正比。下图分别描述了球在空气中的加速度a和速度V随时间t的变化,以及动能EK和机械能E(地面重力势能为零)随球离地面高度h的变化,其中(c)可能是正确的

应该指出的是,阻力的定义是R=u/i,而不是△u/△一、所以电阻不能用导数来计算

附件:

1、零点定理

如果区间[a,b]上函数y=f(x)的图是一条连续曲线,则存在f(a)·f(b)u0026lt;0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)中有0,即至少有一个C∈(a,b),使得f(c)=0,这是方程f(x)=0的根。

2、一阶导数的增减、二阶导数的凹凸性、三阶导数的拐点。

连续性可导函数的一阶导数是相应的切斜率。如果一阶导数大于0,则会增加;如果一阶倒数小于0,则会减小;如果一阶导数等于0,则不会增加或减少。

二阶导数可以反映图像的凹凸。如果二阶导数大于0,则图像是凹的;如果二阶导数小于0,则图像是凸的;二阶导数等于0,既不凹也不凸。

该函数的极值可通过组合一阶导数和二阶导数获得。当一阶导数等于零,二阶导数大于零时,为最小点;当一阶导数等于零,二阶导数小于零时,为最大点;当一阶导数和二阶导数等于零时,它们是驻点。一阶导数可以用来描述原函数的增减。

二阶导数可以用来判断区间上函数的凹凸性,fu002639;u0026#39;(x)u0026gt;0,为凹形,fu002639;u0026#39;(x)u0026lt;0是凸的。

三阶导数用于找到函数的拐点,拐点是指如果曲线f(x)通过一个点(x₀,f(x₀)),曲线的凸度发生变化,则该点称为曲线的拐点。

3、普通导数表

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